平稳与极小变广延的奇异结构与正则性

如果考虑一个具有有界平均曲率的积分变广延 $I^m\subseteq M$，且 S^k(I)\equiv\{x\in M: \text{ 在 x 处无切锥是 }k+1\text{-对称的}\} 是奇异集的标准分层，那么众所周知 $\dim S^k\leq k$。在完全一般性下，关于奇异集 $S^k(I)$ 无其他已知结论。在本文中，我们证明了对具有有界平均曲率的一般积分变广延，特别是平稳变广延，每一层 $S^k(I)$ 都是 $k$-可求长的。事实上，我们证明对 $k$-几乎处处的点 $x\in S^k$，存在唯一的 $k$-平面 $V^k$ 使得在 $x$ 处的每个切锥都具有形式 $V\times C$（对某锥 $C$）。在极小超曲面 $I^{n-1}\subseteq M^n$ 的情形，我们能走得更远。确实，我们可以证明已知满足 $\dim S(I)\leq n-8$ 的奇异集 $S(I)$ 实际上是 $n-8$ 可求长的且具有一致有限的 $n-8$ 维测度。此结论的有效版本使我们能证明第二基本形式 $A$ 在 $I$ 上具有 $L^7_{weak}$ 中的先验估计，该估计是尖锐的，因为对 Simons 锥 $|A|$ 不在 $L^7$ 中。事实上，我们证明了更强的估计：正则性尺度 $r_I$ 具有 $L^7_{weak}$ 估计。上述结果实际上只是我们证明的关于定量分层 $S^k_{\epsilon,r}$ 和 $S^k_{\epsilon}\equiv S^k_{\epsilon,0}$ 的一类新估计的应用。粗略地，若没有球 $B_r(x)$ 是 $\epsilon$-接近于 $k+1$-对称的，则 $x\in S^k_{\epsilon}\subseteq I$。我们证明 $S^k_\epsilon$ 是 $k$-可求长的且满足 Minkowski 估计 $Vol(B_r\,S_\epsilon^k)\leq C_\epsilon r^{n-k}$。证明需要有界平均曲率积分变广延的一个新的 $L^2$-子空间逼近定理，以及作者们在 \cite{NaVa+} 中证明的 $W^{1,p}$-Reifenberg 型定理。