稳定余维1整数Varifold的结构理论及其在模p面积极小超曲面中的应用

对于任意 $Q\in\{\frac{3}{2},2,\frac{5}{2},3,\dotsc\}$，我们建立了稳定余维1平稳整数varifold类 $\mathcal{S}_Q$ 的结构理论，该类不允许密度 $<Q$ 的经典奇点。该理论包含三个主要定理，描述了当以下情形时 $V\in \mathcal{S}_Q$ 的性质：(i) $V$ 接近重数为 $Q$ 的平坦圆盘（对整数 $Q$）；(ii) $V$ 接近整数重数 $<Q$ 的平坦圆盘；(iii) $V$ 接近具有顶点密度 $Q$ 且支撑为沿公共轴相交的三个或更多半超平面之并的平稳锥。主要新结果涉及(i)，特别地给出了密度 $Q$ 分支点附近 $V\in \mathcal{S}_Q$ 的描述。涉及(ii)和(iii)的结果直接源自文献[Wic14]的部分工作（并在第2部分重述）。取 $Q=p/2$，这三个定理 readily 适用于任意整数 $p\geq 2$ 的余维1可求长模 $p$ 面积极小流，以少量易验证的信息为后果确立此类流 $T$ 的局部结构性质。具体而言，应用情形(i)可得：对偶数 $p$，若 $T$ 在内点 $y$ 处有一个切锥等于重数为 $p/2$ 的（有向）超平面 $P$，则 $P$ 是 $y$ 处唯一切锥，且 $y$ 附近的 $T$ 由某 $\frac{p}{2}$ 值函数在某种广义意义下以 $C^{1,\alpha}$ 正则性给出图表示。这解决了此类流在具有平面切锥的点附近局部结构研究中的一个基本未决问题，将自1970年代分别从De Giorgi--Allard正则理论([All72])和White结构理论([Whi79])已知的 $p=2$ 与 $p=4$ 情形之结果作了推广。