模 $p$ 面积极小超曲面奇异集的精细结构

考虑光滑黎曼流形中维数为 $m+1$ 的维数为 $m$ 的模 $p$ 面积极小电流。我们证明，除一个维数至多为 $m-2$ 的相对闭集外，其内奇异集是一个维数为 $m-1$ 的 $C^{1,\alpha}$ 子流形，在局部处，电流的 $N\leq p$ 个正则叶横截相接，每个叶赋予正重数 $k_i$ 使得 $\sum_i k_i = p$。这完成了由 J. Taylor 对 $m=2$ 和 $p=3$ 发起、并由作者在 arXiv:2105.08135 中推广到任意 $m$ 和所有奇 $p$ 的模 $p$ 面积极小超曲面奇异集结构分析。我们通过证明承认平坦 blow-up 的奇异点集在电流中余维数至少为 2，解决了剩余的偶 $p$ 情形。首先，我们结合 epiperimetric 不等式与齐次极小元分析，证明线性化问题极小元奇异点的结构结果，得出相应齐次次数恒为整数；其次，我们改进 Almgren 的 blow-up 过程，证明电流的所有平坦奇异点持续作为 $\mathrm{Dir}$-极小极限的奇异点。我们分析的一个重要成分是奇异点处平坦切锥的唯一性，最近由 Minter 和 Wickramasekera 在 arXiv:2111.11202 中建立。