Alexandrov空间奇点集的定量估计

设 $X\in\text{Alex}\,^n(-1)$ 为曲率 $\ge -1$ 的 $n$ 维Alexandrov空间。令 $r$-尺度 $(k,\epsilon)$-奇点集 $\mathcal S^k_{\epsilon,\,r}(X)$ 为满足如下条件的 $x\in X$ 的集合：$B_r(x)$ 在任何分裂空间 $\mathbb R^{k+1}\times Z$ 中都不与球 $\epsilon r$-逼近。我们证明存在与体积无关的 $C(n,\epsilon)>0$ 和 $\beta(n,\epsilon)>0$，使得对任意不相交族 $\big\{B_{r_i}(x_i):x_i\in \mathcal S_{\epsilon,\,\beta r_i}^k(X)\cap B_1, \,r_i\le 1\big\}$，成立填充估计 $\sum r_i^k\le C$。由此，我们得到Hausdorff测度估计 $\mathcal H^k(\mathcal S^k_\epsilon(X)\cap B_1)\le C$ 与 $\mathcal H^n\big(B_r (\mathcal S^k_{\epsilon,\,r}(X))\cap B_1(p)\big)\leq C\,r^{n-k}$。这回答了Kapovitch和Lytchak提出的一个公开问题。我们还证明 $k$-奇点集 $\mathcal S^k(X)=\underset{\epsilon>0}\cup\left(\underset{r>0}\cap\mathcal S^k_{\epsilon,\,r}\right)$ 是 $k$-可求长的，并构造例子说明该结构是最优的。例如，在 $k=1$ 情形，对任意闭集 $T\subseteq \mathbb S^1$ 和 $\epsilon>0$，可构造空间 $Y\in\text{Alex}^3(0)$ 使得 $\mathcal S^{1}_\epsilon(Y)=\phi(T)$，其中 $\phi\colon\mathbb S^1\to Y$ 为双Lipschitz嵌入。取 $T$ 为Cantor集，便给出一个奇点集为具有正 $1$-Hausdorff测度的 $1$-可求长 $1$-Cantor集的例子。