Alexandroff型流形与同调流形

我们引入并研究了（强）$K^n_G$-流形的概念，其中$G$是阿贝尔群。与该概念相关的一个结果（定理3.4）暗示了Bing-Borsuk问题\cite{bb}的以下部分答案：是否齐次度量$ANR$空间$X$（维数$n$）的任何划分在维数$n-1$上是循环的？如果$X$是齐次度量$ANR$紧空间且$\check{H}^{n}(X;G)\neq 0$，那么对于每个切割$X$于两个不相交开子集之间的集合$M\subset X$，有$\check{H}^{n-1}(M;G)\neq 0$。定理3.4的另一个推论（推论3.6）提供了Mazurkiewicz经典结果\cite{ma}的类比，即$\mathbb R^n$中的任何区域不能被维数$\leq n-2$的子集切割。关于同调流形，证明了如果$X$是弧连通完备度量空间，且要么是群$G$上的同调$n$-流形，要么是至少$n$个度量空间的乘积，那么$X$是Mazurkiewicz弧$n$-流形。我们还引入了一个性质，该性质保证对于每个$x\in X$和$k\leq n-1$，$H_k(X,X\setminus x;G)=0$，其中$X$是齐次局部紧度量$ANR$。