拓扑空间的代数几何 I

我们使用实代数几何和复代数几何的技术来研究紧豪斯多夫拓扑空间 $X$ 上连续复值函数代数 $C(X)$ 的 $K$ 理论及相关不变量。例如，我们证明了约瑟夫·古贝拉泽定理的一个参数化版本；我们证明，如果 $M$ 是一个可数、阿贝尔、可消、无挠、半正规幺半群，且 $X$ 是可缩的，那么 $C(X)[M]$ 上的每个有限生成投射模都是自由的。当 $M=\mathbb{N}^n$ 时，这给出了由丹尼尔·奎伦和安德烈·苏斯林独立证明的著名定理的一个参数化版本，即域上多项式环上的有限生成投射模是自由的。当 $M=\mathbb{Z}^n$ 时，这推导出了乔纳森·罗森伯格关于 $C(X)$ 的负代数 $K$ 理论的同伦不变性的猜想。我们还给出了一个从交换代数到阿贝尔群的函子在 $C^*$ 代数上同伦不变的条件，以及一个交换代数的同调理论在 $C^*$ 代数上消失的条件。这些准则有大量应用。例如，将消失准则应用于 nil-$K$ 理论意味着交换 $C^*$ 代数是 $K$ 正则的。作为另一个应用，我们证明了霍赫希尔德-科斯坦特-罗森伯格和洛代-奎伦关于光滑代数簇坐标环的代数霍赫希尔德和循环同调的经典公式，对于 $C(X)$ 的代数霍赫希尔德和循环同调仍然成立。还给出了对贝林森-苏莱和法雷尔-琼斯猜想的应用。