通过移动平面法得到的 Alexandrov 定理的尖锐定量版本

我们证明了著名的 Alexandrov 肥皂泡定理的以下定量版本。设$S$为$\mathbb{R}^{n+1}$ ($n\geq1$) 中的$C^2$闭嵌入超曲面，记$osc(H)$为其平均曲率的振荡。我们证明存在一个正数$\varepsilon$，其依赖于$n$以及$S$的面积和$C^2$正则性的上界，使得如果$osc(H) \leq \varepsilon$，则存在两个同心球$B_{r_i}$和$B_{r_e}$，满足$S \subset \overline{B}_{r_e} \setminus B_{r_i}$且$r_e -r_i \leq C \, osc(H)$，其中$C$仅依赖于$n$以及$S$的表面积和$C^2$正则性的上界。我们的方法基于对移动平面法的定量研究，我们获得的关于$r_e-r_i$的定量估计是最优的。作为该定理的推论，我们还证明了如果$osc(H)$很小，则$S$微分同胚于球面，并给出了一个定量界，表明$S$在$C^1$意义下接近球面。