Hessian 算子、超定问题与高阶平均曲率：对称性与稳定性结果

众所周知，处理涉及 Laplacian 的超定问题的 Serrin 对称性结果，与著名的 Alexandrov 肥皂泡定理（SBT）——即如果一个光滑有界连通开集 $\Om$ 的边界平均曲率 $H$ 为常数，则 $\Om$ 必定是一个球——之间存在深刻的联系。本文的主要目标之一是将这种联系的研究扩展到 Hessian 算子超定问题和常高阶平均曲率边界的更广泛情形。我们的分析不仅将提供高阶 SBT（最初由 Alexandrov 建立）和 Hessian 方程超定 Serrin 型问题的对称性（最初由 Brandolini, Nitsch, Salani 和 Trombetti 建立）的新证明，还将带来若干益处，包括新的有趣的对称性结果和定量稳定性估计。事实上，利用 Magnanini 和 Poggesi 在一系列论文中对经典情形（即具有经典平均曲率和经典 Laplacian）所做的分析，我们将把他们的方法推广到高阶情形（即具有 $k$ 阶平均曲率和 $k$-Hessian 算子，其中 $k \ge 1$），得到关于与对称构型接近程度的各种定量估计。最后，利用 arXiv:2405.06376 中针对气泡现象进行的定量分析，我们还给出了几乎常 $k$ 阶平均曲率边界与由有限个等半径不相交球的并集所给定集合接近程度的定量稳定性结果。顺便，我们还将提供 Brandolini, Nitsch, Salani 和 Trombetti 所建立结果的两种替代证明，其中之一将 Weinberger 针对经典 Laplacian 所开创的著名方法推广到了 Hessian 算子。