双非线性各向异性扩散的有界性、超压缩界与支撑的最优演化

我们研究了一类双非线性各向异性演化方程的若干正则性性质，其模型情形为 \begin{align*} \partial_t \big(|u|^{\alpha -1}u \big) - \sum^N_{i=1} \partial_i \big( |\partial_i u|^{p_i - 2} \partial_i u \big) = 0, \end{align*} 其中 $\alpha \in (0,1)$ 且 $p_i \in (1, \infty)$。我们获得了超压缩界与超压缩有界性，以及对以 $L^{\alpha+1}(\mathbb{R}^N)$ 中初值作柯西问题解的全局空间有界性，并表明质量随时间非增。作为推论，我们展示了在最优指数下紧支撑的演化。我们引入了一个看似新的范式，通过表明 Caccioppoli 估计、局部有界性和半连续性是隶属于某个合适能量类的后果。这一隶属关系通过首先建立映射 $t \mapsto |u|^{\alpha-1}u(\cdot,t) \in L^{1+1/\alpha}_{loc}(\Omega)$ 的连续性得以证明，从而使我们能够使用合适的 mollified 弱形式以及恰当的测试函数。