一个二维近晶相模型的紧致性与尖锐下界

我们考虑一个二维近晶相模型 \begin{equation*} E_{\epsilon }\left( u\right) =\frac{1}{2}\int_\Omega \frac{1}{\varepsilon }\left( u_{z}-\frac{1% }{2}u_{x}^{2}\right) ^{2}+\varepsilon \left( u_{xx}\right) ^{2}dx\,dz. \end{equation*} 对于 $\varepsilon _{n}\rightarrow 0$ 以及能量 $E_{\varepsilon _{n}}\left(u_{n}\right)$ 有界的一列 $\left\{ u_{n}\right\}$,在附加假设 $\| \partial_x u_{n}\| _{L^{p }}\leq C$(对某 $p>6$)下,我们证明了 $\{\partial_z u_{n}\}$ 在 $L^{2}$ 中以及 $\{\partial_x u_n\}$ 在 $L^q$(任意 $1\leq q<p$)中的紧致性。我们还证明了当 $\varepsilon\rightarrow 0$ 时 $E_{\varepsilon }$ 的尖锐下界。该尖锐界对应于过渡区域中一维 ansatz 的能量。