周期设定下的一种近晶相液晶模型

我们考虑由下式给出的周期设定下二维近晶相模型当 $\varepsilon$ 趋于零时的渐近行为：\begin{equation*} \mathcal{E}_{\varepsilon }( w) =\frac{1}{2}\int_{\mathbb{T}^{2}}\frac{1}{ \varepsilon }\left( \left\vert \partial_{1}\right\vert ^{-1}\left( \partial_{2}w-\partial_{1}\frac{1}{2}w^{2}\right) \right) ^{2}+\varepsilon \left( \partial_{1}w\right) ^{2}dx . \end{equation*} 我们证明能量 $\mathcal{E}_\varepsilon(w)$ 控制 $w$ 的合适 $L^p$ 与 Besov 范数，并由此证明 $\mathcal{E}_\varepsilon(w)$ 极小元的存在性（此前该近晶相模型尚未证明此点），以及能量有界序列在 $L^p$ 中的紧性。我们还通过熵论证给出了当 $\varepsilon \to 0$ 时 $\mathcal{E}_\varepsilon(w)$ 的渐近下界。