纯球状自旋玻璃低温朗之万动力学的阈值能量

我们研究了球状 $p$-自旋模型的朗之万动力学,聚焦于由 Cugliandolo-Kurchan 方程描述的短时间区域。我们证实了 [Cugliandolo-Kurchan, Phys. Rev. Lett. 1993] 的一个预测,即证明在低温极限下达到的渐近能量恰为 $E_{\infty}(p)=2\sqrt{\frac{p-1}{p}}$。上界利用了 Lipschitz 优化算法的困难性结果,并适用于所有温度。对于下界,我们证明该动力学达到并保持在任意近似局部极大值的最低能量之上。事实上,后一种行为适用于任何服从自然光滑性估计的哈密顿量,即使采用依赖于无序的初始化以及在指数时间尺度上也是如此。