具有 p 自旋相互作用的 Hopfield 模型中的自旋玻璃相变

我们研究了具有纯 $p$ 自旋相互作用的 Hopfield 模型，其中 $p\geq 4$ 为偶数，模式数 $M(N)$ 随系统规模 $N$ 增长，形式为 $M(N) = \alpha N^{p-1}$。我们证明存在临界温度 $\beta_p$，其特征为退瞒自由能与退热自由能首次相等。我们证明当 $p\uparrow\infty$ 时，$\beta_p\to\sqrt{\alpha 2\ln 2}$。此外，我们表明对于任意 $\alpha>0$且所有反温度 $\beta$，自由能收敛于 REM 的自由能，反温度为 $\beta/\sqrt{\alpha}$。此外，临界温度以上，复制重合分布集中于零。我们表明对于足够大的 $\alpha$，在低温区域存在一个非空区间，其中分布既有质量靠近零也有质量靠近 $\pm 1$。正如 M. Talagrand 在 $p$ 自旋 SK 模型中首先所示，这表明在低温时，Gibbs 测度在 $N$ 足够大时集中于可数个互不相交集合的并集，且没有任何有限子集拥有全部质量。最后，我们表明存在 $\alpha_p\sim 1/p!$，使得当 $\alpha>\alpha_p$时，承载几乎所有质量的集合不包含原始模式。就此意义上，我们描述了一种真正的自旋玻璃相变。我们的研究方法遵循 Talagrand 对 $p$ 自旋 SK 模型的分析方法。然而，更复杂的随机相互作用结构 necessitates considerable technical modifications。特别是，对于高斯情形下易从积分分部公式得到的各种结果，必须通过展开技术来推导。