弱随机扰动振子系统的非平衡统计力学

我们考虑 $d$ 维格点（$d\in\mathbb{N}$）有限区域内的弱耦合谐振子系统。耦合由大小为 $\varepsilon$ 的最近邻势（谐波或非谐波）提供。每个振子通过量级为 $\varepsilon$ 的力与其自身的任意正温度随机 Langevin 热浴弱相互作用。我们研究了当 $\varepsilon\rightarrow 0$ 时，系统在量级为 $\varepsilon^{-1}$ 的长时间区间及稳态下解和振子局部能量的极限行为。我们表明，该行为由一个具有非退化扩散的耗散随机微分方程（SDE）作为有效方程所支配。接下来，我们假设相互作用势的大小为 $\varepsilon\lambda$，其中 $\lambda$ 是另一个独立于 $\varepsilon$ 的小参数。对应于此标度的解描述了小低温振荡。我们证明，在稳态下，当 $\varepsilon\rightarrow 0$ 时，平均哈密顿能量流在 $\lambda$ 中的主阶与温度梯度成正比。我们表明，该比例系数（我们称之为电导率）可以通过能量流的稳态时空关联来表示。我们获得的大多数结果和收敛性关于系统中振子的数量是一致的。