具有交替自旋的转子非平衡系统的统计力学

我们考虑一个$d$维非线性 Hamilton 转子晶格的有限区域，其中相邻转子具有相反的自旋，并通过量级为$\varepsilon^a,\, a\geq1/2$的小势耦合。我们以微弱的方式随机扰动该系统，使得每个转子与其自身的量级为$\varepsilon$的随机 Langevin 型热浴相互作用。随后，我们为非耦合转子系统（$\varepsilon=0$）引入作用量 - 角变量，并注意到所有节点的作用量之和在$\varepsilon>0$的纯 Hamilton 动力学下是守恒的。我们研究了$\varepsilon$扰动系统解在量级为$\varepsilon^{-1}$的时间区间上，当$\varepsilon \rightarrow 0$时的作用量极限动力学。结果表明，极限动力学由关于作用量向量的某个自治（随机）方程控制。该方程具有完全非 Hamilton 的性质。$\varepsilon$扰动系统具有唯一的平稳测度$\widetilde \mu^\varepsilon$且是混合的。当$\varepsilon\rightarrow 0$时，平稳测度族$\{\widetilde \mu^\varepsilon\}$的任何极限点都是非耦合可积转子系统的不变测度。此类测度有很多。然而，事实证明只有其中一个描述了$\varepsilon$扰动系统的极限动力学：我们证明了$\{\widetilde\mu^\varepsilon\}$的极限点是唯一的，其在作用量空间上的投影是上述自治方程的唯一平稳测度（该方程被证明是混合的），其在角空间上的投影是环面$\mathbb{T}^N$上的归一化 Lebesgue 测度。我们获得的大多数结果和收敛性关于转子数量$N$是一致的。