关于随机常微分方程极限测度及其支撑集
动力系统
2022-01-28 v1 概率论
摘要
本文研究欧几里得空间上随机常微分方程(SODE)平稳测度的极限测度,并试图确定未扰动系统的哪些不变测度会留存。在SODE满足Freidlin-Wentzell或Dembo-Zeitouni大偏差原理且具较弱紧性条件的假设下,我们证明极限测度集中于远离拓扑传递的排斥子、等价类或Lebesgue测度为零的集合之处。我们也排除了极限测度集中于无环鞍点或陷阱链上的可能。这表明极限测度集中于Liapunov稳定紧不变集上。我们将结果应用于Morse-Smale系统、包含结构稳定系统与分离星系统的Axiom A系统、梯度或类梯度系统,以及具有Poincare-Bendixson性质且极限集个数有限的系统,分别得到极限测度存在于Liapunov稳定临界元、Liapunov稳定基本集、Liapunov稳定平衡点以及Liapunov稳定极限集(包括平衡点、极限环与鞍点或陷阱环)上。文中给出了若干具有唯一极限测度的非平凡例子,包括单稳态、多稳态系统以及具有无穷等价类的系统。
引用
@article{arxiv.2201.11298,
title = {On Limit Measures and Their Supports for Stochastic Ordinary Differential Equations},
author = {Tianyuan Xu and Lifeng Chen and Jifa Jiang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2201.11298},
year = {2022}
}
备注
37 pages, 12 figures