平稳测度的集中与极限行为

本文研究了一类由乘性加性白噪声扰动的常微分方程组所关联的 Fokker-Planck 方程的平稳测度的极限行为。当噪声趋于消失时,获得了关于极限测度的不变性与集中性的各种结果。特别地,我们证明如果噪声扰动系统具有一致的 Lyapunov 函数,则平稳测度构成一个相对序列紧集,其弱 $^*$-极限是未扰动系统的不变测度,且集中于该系统的全局吸引子上。在全局吸引子包含强局部吸引子的情况下,我们进一步证明存在一族容许的乘性噪声,使得所有极限测度实际上都集中于该局部吸引子上;反之,若全局吸引子中存在强局部排斥子,则存在一族容许的乘性噪声,使得没有极限测度能集中于该局部排斥子上。此外,我们证明如果全局吸引子中存在一个强排斥平衡点,则对于典型的乘性噪声族,极限测度始终集中于远离该平衡点之处。作为这些结果的应用,本文给出了一个随机 Hopf 分岔的例子。我们的研究与未扰动系统的紧不变集和不变测度的噪声稳定性问题密切相关。