乘性噪声：一种导致非熵统计力学的机制

大量微观或中尺度模型的结果自然地适用于基于 $S_1\equiv -k \int du p(u) \ln p(u)$ 的玻尔兹曼- Gibbs 统计力学。另一类模型则指向基于 $S_q \equiv k [1-\int du [p(u)]^q]/[q-1]$（其中熵指数 $q\in\Re$ 取决于具体模型） 的非熵统计力学。我们在此表明，具有乘性噪声的模型族属于后者类。具体而言，我们考虑动力学方程 $\dot{u}=f(u)+g(u)\xi(t)+\eta(t)$，其中 $\xi(t)$ 和 $\eta(t)$ 是分别具有�幅 $M$ 和 $A$ 的独立零均值高斯白噪声。这导致 Fokker-Planck 方程 $\partial_t P(u,t) = -\partial_u[f(u) P(u,t)] + M\partial_u\{g(u)\partial_u[g(u)P(u,t)]\} + A\partial_{uu}P(u,t)$。当确定性漂移与噪声诱导漂移成比例时，即 $f(u) =-\tau g(u) g'(u)$ 时，平稳解为 $P(u, \infty) \propto \bigl\{1-(1-q) \beta [g(u)]^2 \bigr\}^{\frac{1}{1-q}}$（其中 $q \equiv \frac{\tau + 3M}{\tau+M}$，$\beta=\frac{\tau+M}{2A}$）。该分布正是对 $S_q$ 的优化结果，其约束条件为 $<[g(u)]^2 >_q \equiv \{\int du [g(u)]^2[P(u)]^q \}/ \{\int du [P(u)]^q \}=$ 常数。我们还介绍并讨论了分布宽度的各种表征方法。