具有通用欧拉型非线性偏导随机微分方程的平稳测度存在性

我们研究具有二次保守非线性 $B(x,x)$ 的退化受迫随机微分方程 (SDE) 在 $\mathbb{R}^d$ 上的能量传递及平稳测度的存在性。该非线性受限于具有有限维流模型常见性质的约束条件，线性阻尼项 $-Ax$ 仅作用于相空间的特定子集，其中 $\mathrm{dim}(\mathrm{ker}A) \gg 1$。当 $\mathrm{ker}A = \{0\}$ 时，平稳测度的存在性是直接得到的；但当 $A$ 的核为非平凡时，仅当非线性将足够的能量从未阻尼模式传递到阻尼模式时，平稳测度才可能存在。我们发展了一组充分的动力学条件，保证平稳测度的存在性，并证明只要 $\mathrm{dim}(\mathrm{ker}A) < 2d/3$ 且随机扰动直接作用于至少两个自由度，这些条件在约束类非线性中具有“通用性”。我们还表明，如果允许在离散时间点对非线性进行小幅变动，可以去除 $\mathrm{dim}(\mathrm{ker}A) < 2d/3$ 的限制。特别是对于在大约单位随机时间间隔内演化的马尔可夫链，并在每个时间步对非线性进行小幅扰动的情况，我们证明只要阻尼单个模式，就必然存在平稳测度。