具有退化阻尼的随机微分方程的平稳测度

诸多物理现象涉及能量从受外部强迫的弱阻尼模态向其他强阻尼模态的非线性转移。本文在 $\mathbb R^n$ 中考察具有二次保守非线性项 $B(x,x)$ 与线性阻尼项 $-Ax$ 的(有限维)随机微分方程，其中阻尼在 $\mathrm{ker} A \neq \emptyset$ 意义下是退化的。我们研究推断相关马尔可夫半群存在平稳测度的充分条件。若 $A$ 满秩，此类测度的存在是显然的；否则，能量可能在 $\mathrm{ker} A$ 中累积并导致几乎必然无界轨迹，使平稳测度无从存在。我们给出基于 $\mathrm{ker} A$ 邻域内沿轨迹的时间平均强制性估计的、相对简单且一般的充分条件，并列举许多可作出此类估计的示例。