Wasserstein 距离与二维随机 Navier–Stokes 方程中的谱间隙

我们发展了证明 Banach 空间上 Markov 半群存在谱间隙的一般方法。与以往大多数工作不同，我们为此分析所考虑的范数类型既非加权上确界范数也非 ${\L}^p$ 型范数，而是同时涉及观测量的导数，因此可视为一种 1-Wasserstein 距离。这被证明是无限维空间上的合适方法，因为通常针对全变差收敛的 Harris 或 Doeblin 条件在这些空间中往往不成立。在本文第一部分，我们考虑具有一致行为的半群，这种行为可视为 Doeblin 条件的类比。接着我们研究行为并非如此一致但系统具有合适 Lyapunov 结构的情况，从而导出一种 Harris 型条件。我们最后证明，即便在强迫高度退化的情况下，二维随机 Navier–Stokes 方程也满足后一条件。利用该收敛结果，我们证明了随机 Navier–Stokes 方程的不变测度连续依赖于黏性与强迫的结构。