随机超粘性纳维-斯托克斯方程的无粘极限与 $\mathbb R^2$ 上欧拉方程的不变测度

我们证明了在无界区域 $\mathbb R^2$ 上且具有高度正则初始数据的二维确定性欧拉方程存在一个不变测度 $\mu$，并给出了其一些矩估计。该结果的取得，首先是通过证明存在马尔可夫平稳过程，这些过程求解了具有运动粘度 $\nu>0$ 和尺度为 $\sqrt \nu$ 的加性随机噪声的超粘性二维纳维-斯托克斯方程。然后，我们研究了无粘性极限，并证明了当 $\nu$ 趋于 $0$ 时，这些过程在适当的轨迹空间中收敛到欧拉方程的一个路径平稳解。该解的分布即为所求的不变测度 $\mu$。