随机 Navier-Stokes 方程及相关模型的无粘极限

我们研究了二维随机 Navier-Stokes 方程不变测度的无粘极限。正如 \cite{Kuksin2004} 所示，噪声缩放 $\sqrt{{\nu}}$ 是唯一能导出非平凡极限测度的缩放方式，而这些极限测度对于二维 Euler 方程是不变的。我们证明了任何极限测度 $\mu_{0}$ 实际上都支撑在有界涡度上。文中讨论了 $\mu_{0}$ 与具有弱$^{*}$拓扑的 $L^{\infty}$ 空间中 Euler 方程长期动力学之间的关系。鉴于 Batchelor-Krainchnan 二维湍流理论，我们还考虑了弱阻尼随机 Navier-Stokes 方程的无粘极限。在此设定下，我们表明只有零阶噪声（即噪声缩放 $\nu^0$）才能在无粘极限中导出非平凡的极限测度。