弱至中等非线性阻尼谐振子的解析解新方法：第一部分

我们提出了一种求解由纯非线性阻尼或线性阻尼与非线性阻尼力的组合所致的谐振子的近似解析解的新方法。该方法基于选择合适的试探解，即幅值随时间变化乘以振荡（三角）函数，其频率相同但与无阻尼情况下的初始相位不同。我们推导了幅值衰减的方程，利用总阻尼力与能量耗散率之间的联系，以及幅值在时间上相对于试探解振荡部分变化缓慢的近似。通过匹配试探解与初始条件，我们获得相应初始幅值和初始相位的方程。本文演示了在阻尼随速度平方、库仑阻尼以及这两种阻尼的组合情况下验证该方法的有效性，其中本文考虑的是纯非线性阻尼，而包含线性阻尼与非线性阻尼的动力学将在后续论文中分析。在速度平方阻尼情况下，与相应数值解比较，我们发现近似解析解在弱至中等强速度平方阻尼 regime 下对振子动力学描述得非常好。在库仑阻尼以及库仑阻尼与速度平方阻尼的组合情况下，近似解析解与相应数值解在运动的最后几个半周期前表现良好。因此，对于这两种情况，我们引入了该近似解的改进版本，以良好地描述运动的最末阶段。