关于带两个参数的 $(p,q)$-Laplace 方程极小值的注记

我们详细研究了在零 Dirichlet 边界条件下，有界区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ 上的 $(p,q)$-Laplace 方程 $-\Delta_p u -\Delta_q u = \alpha |u|^{p-2}u + \beta |u|^{q-2}u$ 的全局极小值、基态及其对应能级的存在性、非存在性与行为，其中 $p > q > 1$ 且 $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$。我们在 $(\alpha,\beta)$ 平面上构造了一条曲线，用以划分基态存在与正解多重性的集合。此外，我们证明了在零 Dirichlet 边界条件下 $p$-Laplacian 和 $q$-Laplacian 的特征函数是线性无关的。