欺诈性算法的渐近行为

设 $U$ 为紧致连通 $m$ 维黎曼流形上的 Morse 函数，$m \geq 2$，满足 $\min U=0$，并设 $\mathcal{U} = \{x \in M \: : U(x) = 0\}$ 为全局极小点集。考虑定义在 $N = M \setminus \mathcal{U}$ 上的随机算法 $X^{(\beta)}:=(X^{(\beta)}(t))_{t\geq 0}$，其生成元为 $U \Delta \cdot-\beta\langle \nabla U,\nabla \cdot\rangle$，其中 $\beta\in\RR$ 为实参数。我们证明，当 $\beta>\frac{m}{2}-1$ 时，$X^{(\beta)}(t)$ 几乎必然收敛于 $\mathcal{U}$ 中的某点 $p$，且每个 $p \in \mathcal{U}$ 被选中的概率为正。另一方面，当 $\beta < \frac{m}{2}-1$ 时，$(X^{(\beta)}(t))$ 的分布以全变差距离（按指数速率）收敛于概率测度 $\pi_{\beta}$，该测度关于黎曼测度的密度正比于 $U(x)^{-1-\beta}$。