一类不定次线性 Robin 问题的非负解 I：正性、精确重数及子连续统的存在性

设 $\Omega\subset\mathbb{R}^{N}$ ($N\geq1$) 为光滑有界域，$a\in C(\bar{\Omega})$ 为变号函数，且 $0\leq q<1$。我们研究 Robin 问题 \begin{cases} -\Delta u=a(x)u^{q} & \mbox{in $\Omega$},\ u\geq0 & \mbox{in $\Omega$},\ \partial_{\nu}u=\alpha u & \mbox{on $\partial \Omega$}, \end{cases} 其中 $\alpha\in\lbrack-\infty,\infty)$，且 $\nu$ 为 $\partial\Omega$ 的单位外法向。由于缺乏强最大值原理结构，该问题可能有死核（dead core）解。然而，对于一大类权函数 $a$，当 $q$ 接近于 $1$ 时我们恢复了正性（positivity）性质，这极大地简化了解集的结构。该性质结合分岔分析以及适当的变量代换，使我们能对这类 $q$ 值给出如下精确性结果：$(P_{\alpha})$ 在 $\alpha\leq0$ 时有且仅有一个非平凡解，在 $\alpha>0$ 较小时有且仅有两个非平凡解，而在 $\alpha>0$ 较大时无此类解。在对 $a$ 作进一步假设的条件下，我们证明这些解位于一个子连续统上。这些结果部分依赖于（并推广了）我们先前的工作 \cite{KRQU16}，其中考虑了 $\alpha=-\infty$（Dirichlet）和 $\alpha=0$（Neumann）的情形。我们也得到了任意 $q\in\left[ 0,1\right)$ 的一些结果。我们的方法主要结合了分岔技巧、上下解方法以及先验下界与上界。