非线性非局部特征值问题的饱和现象

给定$1\le q \le 2$与$\alpha\in\mathbb R$，我们研究极小值问题$$\lambda(\alpha,q)=\min\left\{\dfrac{\displaystyle\int_{-1}^{1}|u'|^{2}dx+\alpha\left|\int_{-1}^{1}|u|^{q-1}u\, dx\right|^{\frac2q}}{\displaystyle\int_{-1}^{1}|u|^{2}dx}, u\in H_{0}^{1}(-1,1),\,u\not\equiv 0\right\}.$$的解的性质。特别地，依赖于$\alpha$和$q$，我们证明极小元在临界值$\alpha=\alpha_{q}$之前保持常号，而当$\alpha>\alpha_{q}$时极小元为奇函数。