$\mathbb{R}^2$ 中具有临界指数增长与不定势的 Kirchhoff-Schrödinger 方程

我们得到如下非局部问题基态解的存在性 $$m\left(\int_{\mathbb{R}^2}(|\nabla u|^2 + b(x)u^2) \textrm{d}x\right)(-\Delta u + b(x)u) = A(x)f(u) \ \ \ \textrm{in} \ \ \ \mathbb{R}^2,$$ 其中 $m$ 为 Kirchhoff 型函数,$b$ 可为负值且非强制,$A$ 为局部有界,函数 $f$ 具有临界指数增长。对于经典 Schrödinger 方程即局部情形 $m\equiv 1$,我们也获得了新的结果。证明中我们应用变分方法以及一个新的 Trudinger-Moser 型不等式。