R^N上分数阶Laplacian特征值问题最小能量解的渐近行为

我们关注如下分数阶特征值问题最小能量解的存在性与渐近行为 \begin{equation*} (P)\quad (-\Delta)^{s}u+V(x)u=\mu u+am(x)|u|^{\frac{4s}{N}}u,\quad \int_{\mathbb{R}^{N}}|u|^{2}dx=1,\ u\in H^{s}(\mathbb{R}^{N}), \end{equation*} 其中 $s\in(0,1)$, $\mu\in\mathbb{R}$, $a>0$, $V(x)$ 和 $m(x)$ 为 $L^{\infty}(\mathbb{R}^{N})$ 函数且 $N\geq2$。我们证明存在阈值 $a_s^{*}>0$，使得对每个 $a\in(0,a_s^{*})$，问题 $(P)$ 有最小能量解 $u_{a}(x)$，且当 $a\nearrow a_s^{*}$ 时，$u_{a}$ 在使 $V(x_0)$ 取最小值、$m(x_0)$ 取最大值的某点 $x_0 \in \mathbb{R}^N$ 处爆破。此外，在 $V(x)$ 和 $m(x)$ 的适当条件下，得到了 $u_a$ 的精确爆破速率。