分数拉普拉斯方程非线性椭圆问题中基态解的渐近行为

本文考察分数拉普拉斯方程\n\n\begin{equation}\label{eq:0.1a} (-\Delta)^s u + V u = |u|^{p-2} u \quad x \in \mathbb{R}^n \end{equation}\n\n中基态解 $u_s$ 的渐近行为，其中将 $s$ 取为参数，满足 $n \geq 4$，$2 < p < \frac{2n}{n-2}$，$V$ 为势函数。我们证明对于固定的 $p$，存在 $s_0 \in (0,1)$，使得方程 \eqref{eq:0.1a} 当且仅当 $s_0 < s < 1$ 时才存在基态解 $u_s$。我们的主要结果给出 $u_s$ 随着 $s \uparrow 1$ 和 $s \downarrow s_0$ 的渐近行为：当 $s \uparrow 1$ 时，$u_s$ 收敛到一个函数；当 $s \downarrow s_0$ 时，$u_s$ 发生爆炸。特别地，我们证明当 $s \downarrow s_0$ 时，$u_s$ 在势函数 $V$ 的极小点处浓缩。我们也给出了 $u_s$ 的局部唯一性。