紧致流形上共形变形下的预定数量曲率

对于闭流形与带边界的紧致流形，在维数 $n \geqslant 3$ 且共形拉普拉斯（必要时带适当边界条件）的第一特征值为正的条件下，包括有趣的情形 $\mathbb{S}^{n}$ 或 $\mathbb{S}^{n}$ 的某些商空间，我们给出了黎曼度量 $g$ 的共形类中预定数量曲率问题的充分及“几乎”必要条件。当流形不是 $\mathbb{S}^{n}$ 的某商空间时，我们证明：一方面，任何在流形任意正测度的开子集内为正常数、在其余部分无限制的光滑函数，都是共形变换下某度量的预定数量曲率函数；另一方面，任何光滑函数 $S$ 几乎都是共形类 $[g]$ 中Yamabe度量的预定数量曲率函数，其意义为：对 $S$ 在任意小开子集内作适当扰动后所得函数，是Yamabe度量的预定数量曲率函数。当流形为 $\mathbb{S}^{n}$ 或带Kleinian群 $\Gamma$ 的 $\mathbb{S}^n / \Gamma$ 时，我们证明任何满足称为条件B的技术性分析条件的正函数，都可在这些流形上实现为预定数量曲率函数。