对偶极图、量子代数 $U_q(sl_2)$ 与 dual q-Krawtchouk 型 Leonard 系

本文探讨以下三个对象之间的关系：(i) 对偶极图；(ii) 量子代数 $U_q(sl_2)$；(iii) dual q-Krawtchouk 型 Leonard 系。为方便起见，我们首先描述 (ii) 与 (iii) 的关系。对于给定的 dual q-Krawtchouk 型 Leonard 系，我们在其底层向量空间上获得两个 $U_q(sl_2)$-模结构。接着描述 (i) 与 (iii) 的关系。设 $\Gamma$ 为一个对偶极图。固定 $\Gamma$ 的一个顶点 $x$，令 $T = T(x)$ 表示相应的子成分代数。根据定义，$T$ 由 $\Gamma$ 的邻接矩阵 $A$ 和一个称为对应于 $x$ 的对偶邻接矩阵的特定对角矩阵 $A^* = A^*(x)$ 生成。由构造可知，代数 $T$ 是半单的。我们证明，对于每个不可约 $T$-模 $W$，$A$ 和 $A^*$ 在 $W$ 上的限制诱导一个 dual q-Krawtchouk 型 Leonard 系。现在描述 (i) 与 (ii) 的关系。我们在 $\Gamma$ 的标准模上获得两个 $U_q(sl_2)$-模结构。我们描述这两个 $U_q(sl_2)$-模结构之间的关系。每个 $U_q(sl_2)$-模结构均诱导一个 $\mathbb{C}$-代数同态 $U_q(sl_2) \rightarrow T$。我们证明在每种情况下，$T$ 均由该像与 $T$ 的中心共同生成。利用 $\Gamma$ 的组合性质，我们获得了 $T$ 的一个生成集 $L, F, R, K$ 以及这些生成元满足的一些优良关系。