利用量子环面探讨 q-欧文纳代数

q-欧文纳代数，记为 $O_q$，由生成器 $W_0, W_1$ 以及两个称为 q-达洛-格雷关系的关系定义。2017 年，Baseilhac 和 Kolb 提出了一些构成 $O_q$ 的泉-比希-福尔基纲 basis 的元素。量子环面，记为 $T_q$，由生成器 $x, y, x^{-1}, y^{-1}$ 以及关系 $$xx^{-1} = 1 = x^{-1}x, \qquad yy^{-1} = 1 = y^{-1}y, \qquad xy=q^2yx$$ 定义。集合 $\{x^iy^j | i,j \in \mathbb{Z} \}$ 是 $T_q$ 的基。已知存在一种代数同态 $p: O_q \mapsto T_q$ 将 $W_0 \mapsto x+x^{-1}$，$W_1 \mapsto y+y^{-1}$。2020 年，Lu 和 Wang 显示了 $O_q$ 的一个变体，记为 $\tilde{\mathbf{U}}^{\imath}$。Lu 和 Wang 提出了一元射映 $\upsilon : \tilde{\mathbf{U}}^{\imath} \mapsto O_q$。\medskip 在他们对 $\tilde{\mathbf{U}}^{\imath}$ 的考虑中，Lu 和 Wang 引入了一些元素 \begin{equation} \label{intrp503} \{B_{1,r}\}_{r \in \mathbb{Z}}, \qquad \{H'_n\}_{n=1}^{\infty}, \qquad \{H_n\}_{n=1}^{\infty}, \qquad \{\Theta'_n\}_{n=1}^{\infty}, \qquad \{\Theta_n\}_{n=1}^{\infty}. \nonumber \end{equation} 这些元素是使用递归公式和生成函数定义的，难以以闭合形式表示。$O_q$ 的 Baseilhac-Kolb 元素也存在类似问题。为缓解这一困难，我们使用 $p$ 和 $\upsilon$ 将一切映射到 $T_q$。在我们的主要结果中，我们以 $T_q$ 的基形式表达所得结果，并以一种引人注目的闭合形式表示。