代数 $U^+_q$ 及其交错中心扩张 $\mathcal U^+_q$

令 $U^+_q$ 表示量子包络代数 $U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_2)$ 的正部分。代数 $U^+_q$ 有一个涉及两个生成元 $W_0$、$W_1$ 和两个关系(称为 $q$-Serre 关系)的表示。1993 年 I. Damiani 得到了 $U^+_q$ 的一个 PBW 基,由一些元素 $\lbrace E_{n \delta+ \alpha_0} \rbrace_{n=0}^\infty$、$\lbrace E_{n \delta+ \alpha_1} \rbrace_{n=0}^\infty$、$\lbrace E_{n \delta} \rbrace_{n=1}^\infty$ 组成。2019 年我们引入了 $U^+_q$ 的交错中心扩张 $\mathcal U^+_q$。我们通过生成元和关系定义了 $\mathcal U^+_q$。这些称为交错的生成元记为 $\lbrace \mathcal W_{-k}\rbrace_{k=0}^\infty$、$\lbrace \mathcal W_{k+1}\rbrace_{k=0}^\infty$、$\lbrace \mathcal G_{k+1}\rbrace_{k=0}^\infty$、$\lbrace \mathcal {\tilde G}_{k+1}\rbrace_{k=0}^\infty$。令 $\langle \mathcal W_0, \mathcal W_1 \rangle$ 表示由 $\mathcal W_0$、$\mathcal W_1$ 生成的 $\mathcal U^+_q$ 的子代数。已知存在代数同构 $U^+_q\to \langle \mathcal W_0, \mathcal W_1 \rangle$,将 $W_0 \mapsto \mathcal W_0$ 和 $W_1 \mapsto \mathcal W_1$。通过该同构我们将 $U^+_q$ 与 $\langle \mathcal W_0, \mathcal W_1 \rangle$ 等同。在我们的主要结果中,我们用交错生成元表示 Damiani PBW 基元素。我们用生成函数给出结果。