与 $U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_2)$ 正部分中交错元素相关的一个生成函数

$U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_2)$ 的正部分 $U_q^+$ 可嵌入到一个 $q$-shuffle 代数中。该嵌入由 M. Rosso 于 1995 年引入。2019 年，Terwilliger 利用 Rosso 嵌入引入了 $U_q^+$ 中的交错元素 $\{W_{-n}\}_{n \in \mathbb{N}}$、$\{W_{n+1}\}_{n \in \mathbb{N}}$、$\{G_{n+1}\}_{n \in \mathbb{N}}$、$\{\tilde{G}_{n+1}\}_{n \in \mathbb{N}}$。他证明了交错元素 $\{W_{-n}\}_{n \in \mathbb{N}}$、$\{W_{n+1}\}_{n \in \mathbb{N}}$、$\{\tilde{G}_{n+1}\}_{n \in \mathbb{N}}$ 构成 $U_q^+$ 的一组 PBW 基，并在该交错 PBW 基中表达了 $\{G_{n+1}\}_{n \in \mathbb{N}}$。在他的计算中，Terwilliger 使用了一些元素 $\{D_n\}_{n \in \mathbb{N}}$，其性质如下：生成函数 $D(t)=\sum_{n \in \mathbb{N}}D_nt^n$ 是生成函数 $\tilde{G}(t)=\sum_{n \in \mathbb{N}}\tilde{G}_nt^n$ 的乘法逆元，其中 $\tilde{G}_0=1$。Terwilliger 递归地定义了 $\{D_n\}_{n \in \mathbb{N}}$；在本文中，我们将以闭式表达 $\{D_n\}_{n \in \mathbb{N}}$。