$q$-Onsager 代数及其交错中心扩张

$q$-Onsager 代数 $O_q$ 有一个涉及两个生成元 $W_0$、$W_1$ 和两个关系（称为 $q$-Dolan/Grady 关系）的表示。交错中心扩张 $\mathcal O_q$ 有一个涉及交错生成元 $\lbrace \mathcal W_{-k}\rbrace_{k=0}^\infty$、$\lbrace \mathcal W_{k+1}\rbrace_{k=0}^\infty$、$\lbrace \mathcal G_{k+1}\rbrace_{k=0}^\infty$、$\lbrace \mathcal {\tilde G}_{k+1}\rbrace_{k=0}^\infty$ 以及大量关系的表示。令 $\langle \mathcal W_0, \mathcal W_1 \rangle$ 表示由 $\mathcal W_0$、$\mathcal W_1$ 生成的 $\mathcal O_q$ 的子代数。已知存在代数同构 $O_q \to \langle \mathcal W_0, \mathcal W_1 \rangle$，将 $W_0\mapsto \mathcal W_0$ 且 $W_1 \mapsto \mathcal W_1$。已知 $\mathcal O_q$ 的中心 $\mathcal Z$ 同构于可数无穷多变量的多项式代数。已知乘法映射 $\langle \mathcal W_0, \mathcal W_1 \rangle \otimes \mathcal Z \to \mathcal O_q$，$w \otimes z \mapsto wz$ 是代数的同构。我们称此同构为 $\mathcal O_q$ 的标准张量积分解。在 $\mathcal O_q$ 的研究中有两种自然的观点：我们可以从交错生成元出发，或者从标准张量积分解出发。这两种观点如何关联并不明显。本文的目标是描述这一关系。我们给出了七个主要结果；其中最主要的是对生成 $\mathcal Z$ 的某些代数无关元素的生成函数的一个优美的分解。