$q$-Onsager代数的交错中心扩张

$q$-Onsager代数$O_q$由两个生成元$W_0$、$W_1$和称为$q$-Dolan/Grady关系的两个关系给出。近来Baseilhac与Koizumi为$O_q$引入了当前代数$\mathcal A_q$。不久之后,Baseilhac与Shigechi以生成元与关系给出了$\mathcal A_q$的一个表示。我们证明这些生成元给出了$\mathcal A_q$的一个PBW基。利用该PBW基,我们证明代数$\mathcal A_q$同构于$O_q \otimes \mathbb F \lbrack z_1, z_2, \ldots \rbrack$,其中$\mathbb F$为基域且$\lbrace z_n \rbrace_{n=1}^\infty$为相互交换的未定元。回顾量子包络代数$U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_2)$的正部分$U^+_q$。我们的结果表明,$O_q$与$\mathcal A_q$的关系等同于$U^+_q$与其交错中心扩张的关系。基于此,我们提议称$\mathcal A_q$为$O_q$的交错中心扩张。