通用 Askey-Wilson 代数与 $(C_1^{\vee},C_1)$ 型 DAHA

令 $\mathbb F$ 表示一个域，并固定一个非零 $q\in\mathbb F$ 使得 $q^4\not=1$。通用 Askey-Wilson 代数 $\Delta_q$ 是由生成元和关系定义的关联 $\mathbb F$-代数，定义方式如下：生成元为 $A$、$B$、$C$。关系断言 $A+\frac{qBC-q^{-1}CB}{q^2-q^{-2}}$、$B+\frac{qCA-q^{-1}AC}{q^2-q^{-2}}$、$C+\frac{qAB-q^{-1}BA}{q^2-q^{-2}}$ 中的每一个在 $\Delta_q$ 中都是中心的。$(C_1^\vee,C_1)$ 型通用 DAHA $\hat H_q$ 是由生成元 $\lbrace t^{\pm1}_i\rbrace_{i=0}^3$ 和关系 (i) $t_i t^{-1}_i=t^{-1}_i t_i=1$；(ii) $t_i+t^{-1}_i$ 是中心的；(iii) $t_0t_1t_2t_3=q^{-1}$ 定义的关联 $\mathbb F$-代数。我们展示了一个 $\mathbb F$-代数的单射 $\psi:\Delta_q\to\hat H_q$，它将 $A\mapsto t_1t_0+(t_1t_0)^{-1}$，$B\mapsto t_3t_0+(t_3t_0)^{-1}$，$C\mapsto t_2t_0+(t_2t_0)^{-1}$。对于映射 $\psi$，我们计算了上述三个中心元素的像。代数 $\Delta_q$ 拥有另一个感兴趣的中心元素，称为 Casimir 元素 $\Omega$。我们计算了 $\Omega$ 在 $\psi$ 下的像。我们描述了 Artin 辫群 $B_3$ 如何作为自同构群作用于 $\Delta_q$ 和 $\hat H_q$。我们证明了 $\psi$ 与这些 $B_3$ 作用交换。此外还获得了一些相关结果。