与泛 Askey-Wilson 代数相关的一个李代数

令 $\mathbb{F}$ 表示代数闭域。用 $\mathcal{X}=\{A,B,C\}$ 表示三元素集合，并令 $\mathbb{F}\left<\mathcal{X}\right>$ 表示以 $\mathcal{X}$ 为生成元的自由含幺结合 $\mathbb{F}$-代数。固定 $\mathbb{F}$ 中非零 $q$ 使得 $q^4\neq 1$。泛 Askey-Wilson 代数 $\Delta$ 是商空间 $\mathbb{F}\left<\mathcal{X}\right>/\mathbb{I}$，其中 $\mathbb{I}$ 是由九个元素 $UV-VU$ 生成的 $\mathbb{F}\left<\mathcal{X}\right>$ 的双边理想，这里 $U$ 取 $A,B,C$ 之一，$V$ 取 \begin{equation} (q+q^{-1}) A+\frac{qBC-q^{-1}CB}{q-q^{-1}},\nonumber \end{equation} \begin{equation} (q+q^{-1}) B+\frac{qCA-q^{-1}AC}{q-q^{-1}},\nonumber \end{equation} \begin{equation} (q+q^{-1}) C+\frac{qAB-q^{-1}BA}{q-q^{-1}}.\nonumber \end{equation} 之一。将 $\mathbb{F}\left<\mathcal{X}\right>$ 赋予李括号 $\left[ X,Y\right] = XY-YX$（对所有 $X,Y\in\mathbb{F}\left<\mathcal{X}\right>$）而变为李代数。令 $\mathcal{L}$ 表示由 $\mathcal{X}$ 生成的 $\mathbb{F}\left<\mathcal{X}\right>$ 的李子代数，它也是 $\mathcal{X}$ 上的自由李代数。令 $L$ 表示由 $A,B,C$ 生成的 $\Delta$ 的李子代数。由于 $\Delta$ 的给定定义关系集不在 $\mathcal{L}$ 中，自然猜想 $L$ 由 $A,B,C$ 自由生成。我们通过证明典范映射 $\mathbb{F}\left<\mathcal{X}\right>\rightarrow\Delta$ 的核与 $\mathcal{L}$ 有非零交集，给出了否定的回答。用 $\mathcal{L}_n$ 表示 $\mathcal{L}$ 中所有长度为 $n$ 的 Hall 基元素的张成空间，并用 $L_n$ 表示在典范映射 $\mathcal{L}\rightarrow L$ 下 $\sum_{i=1}^n\mathcal{L}_i$ 的像。我们研究了 $L_4$ 和 $L_5$ 的一些性质。