Askey–Wilson代数、李代数$\mathfrak{so}_{3}$及其费米子实现

本文建立了一个连接李代数$\mathfrak{so}_{3}$与Askey–Wilson代数的综合性代数框架。首先，我们通过利用$\mathfrak{sl}_{2}$和$\mathfrak{so}_{3}$之间的李代数同构，给出了从通用Racah代数$\Re$到$U(\mathfrak{sl}_2)$的代数同态的一个明显对称的重新表述。这一视角促进了向量子设定的自然扩展，我们在其中构造了一个从通用Askey–Wilson代数$\triangle_{q^4}$到非标准量子代数$U_{q}^{\prime}(\mathfrak{so}_{3})$的显式代数同态。通过将经典类型的有限维不可约$U_{q}^{\prime}(\mathfrak{so}_{3})$-模视为$\triangle_{q^4}$-模，我们证明了分解模式与$U(\mathfrak{so}_3)$在$\Re$上的分支规则完全平行。此外，我们通过建立$U(\mathfrak{so}_3)$和$U_q'(\mathfrak{so}_3)$上的斜群环与其相关的反对易子自旋代数之间的代数同构，将这种对应关系扩展到费米子设定。总的来说，这些结果提供了一个统一的对应关系，弥合了可积代数结构、量子群及其费米子类似物之间的差距。