具有不变斜对称形式的交换 $n$-ary 超代数

我们利用导出括号形式主义，研究了具有斜对称不变形式的 $n$-ary 交换超代数和 $L_{\infty}$-代数。这类超代数包括例如 Lie 代数及其 $n$-ary 推广、具有不变形式的交换结合代数和 Jordan 代数。我们对具有不变形式的反交换 $m$ 维 $(m-3)$-ary 代数进行了分类，并对具有正定不变形式的实单 $m$ 维 Lie $(m-3)$-代数进行了同构分类。此外，我们发展了具有对称不变形式的 $L_{\infty}$-代数的 Hodge 理论，并描述了斜对称 $n$-ary 代数上的 quasi-Frobenius 结构。