有限维李代数在玻色子量子动力学中的应用：单模情况

我们研究、分类并探讨了在单模及自相互作用玻色子系统量子动力学中出现的有限维李代数的数学性质。这些李代数包含在实反厄米 Weyl 代数 $\hat{A}_1$ 中，后者定义为由构成 Weyl 代数 $A_1$ 中所有反厄米多项式的实子代数。我们分析中一个核心问题是选择 $\hat{A}_1$ 的基，其由两个称为单项式的元素的反对称组合组成，这些单项式是由创建算子与湮灭算子及其厄米共轭元素组合而成的字符串。受寻找量子最优控制与动力学中解析解的启发，我们旨在回答以下三个根本问题：(i) 由单项式alone生成的 $\hat{A}_1$ 中的有限维李子代数是什么？(ii) 包含自由哈密顿量的 $\hat{A}_1$ 中的有限维李子代数是什么？(iii) 哪些非阿贝尔且可在 $\hat{A}_1$ 中忠实实现的有限维李子代数？我们通过提供由单项式alone生成的所有有限维非阿贝尔李代数的所有可能实现来回答第一个问题。通过证明任何包含自由哈密顿项的 $\hat{A}_1$ 的非阿贝尔且有限维子代数必须是 Schr"odinger 代数的子代数来回答第二个问题。我们通过对可在 $\hat{A}_1$ 中实现的所有 nilpotent 和非可解李代数进行分类，并对剩余情况进行讨论来部分回答第三个问题。最后，我们还讨论了这些结果对量子控制理论的影响。我们的工作是理解玻色子系统在完全一般情况下的量子动力学的一个重要步骤。