有限与无限 W 代数及其应用

本文从哈密顿约化的角度对 $W$ 代数进行了系统研究。Drinfeld-Sokolov (DS) 约化方案被推广到任意 $sl_2$ 嵌入，从而表明一大类 W 代数可以被视为仿射李代数的约化。与这些经典 W 代数相关的可积演化方程层级以及以它们为 Noether 对称代数的广义 Toda 场论也被构造出来。DS 约化的量子化问题对任意 $sl_2$ 嵌入得到了解决，并且证明了任何 W 代数都可以嵌入到仿射李代数中。这也为我们提供了为任意 W 代数写出自由场实现的算法方法。正如仿射李代数一样，W 代数具有称为“有限 W 代数”的有限底层结构。我们详细研究了这些代数的经典和量子理论，它们在普通 W 代数理论中起着重要作用，以及它们表示理论的某些方面。与任意有限 W 代数相关的辛叶（或 W-共伴随轨道）以及它们在玻色子振荡子方面的实现也被确定。除了这些技术方面，我们还回顾了 W 对称性在弦理论、二维临界现象、量子霍尔效应和孤子现象中的潜在应用。本工作基于作者的博士论文。