有限 W 代数的表示理论

本文研究了 $W$ 代数底层的有限生成代数。这些所谓的“有限 $W$ 代数”被构造为单李代数上 Kirillov Poisson 结构的 Poisson 约化。不等价的约化由 $sl_2$ 到所讨论的单李代数的不等价嵌入标记。对于任意嵌入，导出了约化 Poisson 结构的坐标无关公式。我们还证明了任何有限 $W$ 代数可嵌入到（半）单李代数的 Kirillov Poisson 代数中（广义 Miura 映射）。此外，证明了广义有限 Toda 系统是描述在群流形上运动的自由粒子系统的约化，且它们具有有限 $W$ 对称性。在第二部分，我们对有限 $W$ 代数进行 BRST 量子化。使用谱序列（不同于 Feigin 和 Frenkel 所使用的）计算了 BRST 上同调。这使我们能够一举量子化所有有限 $W$ 代数。给出了 $sl_3$ 和 $sl_4$ 的显式结果。在论文的最后一部分，我们研究了有限 $W$ 代数的表示理论。证明了，利用广义 Miura 变换的量子版本，有限 $W$ 代数的表示可由原始单李代数的某个李子代数的表示构造而成。作为副产品，我们能够构造任意有限 $W$ 代数的 Fock 实现。