$(C_1^\vee,C_1)$ 型泛 DAHA 与 Leonard 三元组

设 $\mathbb F$ 为代数闭域，$q$ 为 $\mathbb F$ 中非零且非单位根的标量。泛 Askey--Wilson 代数 $\triangle_q$ 是由 $A,B, C$ 生成的酉结合 $\mathbb F$-代数，其关系表明以下各项 each of $$A+\frac{q BC-q^{-1} CB}{q^2-q^{-2}}, \qquad B+\frac{q CA-q^{-1} AC}{q^2-q^{-2}}, \qquad C+\frac{q AB-q^{-1} BA}{q^2-q^{-2}}$$ 在 $\triangle_q$ 中均为中心元。$(C_1^\vee,C_1)$ 型泛 DAHA $\mathfrak H_q$ 是由 $\{t_i^{\pm 1}\}_{i=0}^3$ 生成的酉结合 $\mathbb F$-代数，其关系表明 \begin{gather*} t_it_i^{-1}=t_i^{-1} t_i=1 \quad \hbox{for all $i=0,1,2,3$}; \\ \hbox{$t_i+t_i^{-1}$ is central} \quad \hbox{for all $i=0,1,2,3$}; \\ t_0t_1t_2t_3=q^{-1}. \end{gather*} 已给出一个 $\mathbb F$-代数同态 $\triangle_q\to \mathfrak H_q$，将 \begin{eqnarray*} A &\mapsto & t_1 t_0+(t_1 t_0)^{-1}, \\ B &\mapsto & t_3 t_0+(t_3 t_0)^{-1}, \\ C &\mapsto & t_2 t_0+(t_2 t_0)^{-1}. \end{eqnarray*} 因此任意 $\mathfrak H_q$-模可视为 $\triangle_q$-模。令 $V$ 表示有限维不可约 $\mathfrak H_q$-模。本文中我们证明，$A,B,C$ 在 $V$ 上可对角化当且仅当 $A,B,C$ 在 $\triangle_q$-模 $V$ 的所有合成因子上作为 Leonard 三元组作用。