$\mathfrak{sl}_2$ 的泛包络代数与 Racah 代数

令 $\mathbb{F}$ 表示特征 ${\rm char\,}\mathbb{F}\not=2$ 的域。Racah 代数 $\Re$ 是由生成元与关系如下定义的含单位结合 $\mathbb{F}$-代数。生成元为 $A$、$B$、$C$、$D$。关系断言 \begin{equation*} [A,B]=[B,C]=[C,A]=2D \end{equation*} 且下列元素 \begin{gather*} \alpha=[A,D]+AC-BA, \qquad \beta=[B,D]+BA-CB, \qquad \gamma=[C,D]+CB-AC \end{gather*} 每个都在 $\Re$ 中中心。此外元素 $\delta=A+B+C$ 在 $\Re$ 中中心。本文探讨 Racah 代数 $\Re$ 与泛包络代数 $U(\mathfrak{sl}_2)$ 之间的关系。令 $a,b,c$ 表示相互交换的未定元。我们证明存在唯一的 $\mathbb{F}$-代数同态 $\natural:\Re\to\mathbb{F}[a,b,c]\otimes_\mathbb{F} U(\mathfrak{sl}_2)$，将 \begin{eqnarray*} A &\mapsto& a(a+1)\otimes 1+(b-c-a)\otimes x+(a+b-c+1)\otimes y-1\otimes xy, \\ B &\mapsto& b(b+1)\otimes 1+(c-a-b)\otimes y+(b+c-a+1)\otimes z-1\otimes yz, \\ C &\mapsto& c(c+1)\otimes 1+(a-b-c)\otimes z+(c+a-b+1)\otimes x-1\otimes zx, \\ D &\mapsto& 1\otimes (zyx+zx)+ (c+b(c+a-b))\otimes x +(a+c(a+b-c))\otimes y \\ && \qquad+(b+a(b+c-a))\otimes z +\,(b-c)\otimes xy+(c-a)\otimes yz+(a-b)\otimes zx, \end{eqnarray*} 其中 $x,y,z$ 是 $U(\mathfrak{sl}_2)$ 的均衡生成元。我们额外给出 $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ 及 $\Re$ 的某些 Casimir 元素在 $\natural$ 下的像。我们还证明映射 $\natural$ 是单射，从而给出 $\Re$ 到 $\mathbb{F}[a,b,c]\otimes U(\mathfrak{sl}_2)$ 的一个嵌入。我们利用该单射证明 $\Re$ 不含零因子。