由 $su(3)$ 生成的多项式代数与二球面上的通用模型

基于 Lie 代数构造超可积系统的方法多年来已被提出。然而，这些方法依赖于底层 Lie 代数的显式实现，例如作为微分算符。其相关对称代数的构造通常也如此，且对称代数常取有限生成二次代数的形式。这些代数常展现依赖于中心元（尤其是哈密顿量）的结构常数。本文中，我们重新审视二球面上通用超可积系统（其对称代数已知为 Racah 代数 $R(3)$）的情形，发展了一种新方法。该模型与共形平坦空间上的 59 个 $2D$ 超可积系统及其 12 个等价类相关。我们证明，利用 $su(3)$ 包络代数中 2、3 和 4 次多项式，可仅基于 $su(3)$ Lie 代数的抽象对易关系生成代数，而无须对表示或实现施加显式约束。此构造依赖于极大阿贝尔子代数（亦称 MASA，即 Cartan 生成元及其交换子）。我们得到一个新的 6 维三次代数，其结构常数为整数，由四次代数约化而来（该四次代数的结构常数依赖于 Cartan 生成元与 Casimir 不变量）。我们还利用 $su(3)$ 的二次与三次 Casimir 不变量给出了对称代数的其他形式。仅当使用显式实现时，它才约化为已知的二次 Racah 代数 $R(3)$。该代数结构描述了二球面上通用超可积系统的对称性。我们还给出了向另一 6 维三次代数的收缩，其对应于 Smorodinsky-Winternitz 模型的对称代数。