由交换子生成的多项式代数：$\mathcal{A}_3$ 的经典与量子方面

我们回顾 Racah 代数 $R(n)$ 的若干方面，包括闭包关系，指出它们在超可积性以及具有余代数对称性的若干模型的对称代数描述中的作用。该联系包含 $(n-1)$ 球面上的泛型模型。我们讨论一种构造哈密顿量、运动积分与对称代数的代数方案。该方案仅在特定微分算子实现的情形下归约为 Racah 代数 $R(n)$ 与 $(n-1)$ 球面上的模型。我们回顾该方法，其允许我们在经典情形下获得 $\mathfrak{sl}(n)$ 包络代数中定义的交换子。对于 $\mathfrak{sl}(3)$ 的情形，给出了相关的 $\mathcal{A}_3$ 多项式代数。给出了通过对多项式对称化以及将 Berezin 括号替换为对易子并对多项式关系对称化来实现 $\mathcal{A}_3$ 方案量子化的显式构造。我们获得了额外的量子项。这些显式关系不仅对超可积性有意义，也对数学物理中的其他应用有意义。