Racah 代数、中心化子 $Z_n(\mathfrak{sl}_2)$ 及其 Hilbert-Poincar\'e 级数

回顾了最近引入的高阶 Racah 代数 $R(n)$。随后引入了该代数模中心元素的一个商，我们称之为特殊 Racah 代数 $sR(n)$。利用经典不变量理论的结果，证明了该 $sR(n)$ 代数同构于对角嵌入 $U(\mathfrak{sl}_2)$ 到 $U(\mathfrak{sl}_2)^{\otimes n}$ 中的中心化子 $Z_{n}(\mathfrak{sl}_2)$。这给出了中心化子 $Z_{n}(\mathfrak{sl}_2)$ 基于生成元和定义关系的首个新颖表示。还得到并研究了其 Hilbert-Poincar\'e 级数的显式公式。讨论了将结果推广到特殊 Askey-Wilson 代数及其高阶推广的研究。